ಆರà³à²¯à²à²Ÿ ಮತà³à²¤à³ ಆರà³à²¯à²à²Ÿà³€à²¯
![picture](../assets/images/article/lekhana/aryabhata.jpg)
ವೇದಗಳ ಕಾಲದಿಂದಲೂ,ಪà³à²°à²¾à²¯à²¶à²ƒ ಅದಕà³à²•à²¿à²‚ತ ಹಿಂದಿನಿಂದಲೂ, à²à²¾à²°à²¤à²¦à²²à³à²²à²¿ ಗಣಿತಕà³à²•à³† ಹೆಚà³à²šà³ ಪà³à²°à²¾à²¶à²¸à³à²¤à³à²¯à²µà²¿à²¦à³†.ಈ ನಿಟà³à²Ÿà²¿à²¨à²²à³à²²à²¿ à²à²¾à²°à²¤à²¦ ಅನೇಕ ಕೊಡà³à²—ೆಗಳಲà³à²²à²¿ ಅತà³à²¯à²®à³‚ಲà³à²¯à²µà²¾à²¦ ಎರಡನà³à²¨à³ ಹೆಸರಿಸಬಹà³à²¦à³.
೧. ಸಂಖà³à²¯à³† ಹತà³à²¤à²¨à³à²¨à³ ಆಧಾರಿಸಿದ ಸà³à²¥à²¾à²¨ ಮೌಲà³à²¯ ಪದà³à²§à²¤à²¿(Decimal Place Value System)
೨. ಮಿಕà³à²• ಅಂಕೆಗಳಂತೆಯೇ ಸೊನà³à²¨à³†à²¯à²¨à³à²¨à³‚ ಒಂದೠಚಿಹà³à²¨à³†(೦) ಇಂದ ನಿರೂಪಿಸà³à²µà³à²¦à³.
ಸà³à²¥à²¾à²¨ ಮೌಲà³à²¯ ಪದà³à²§à²¤à²¿à²¯ ವಿಶೇಷವೆಂದರೆ, ಒಂದೠಅಂಕೆಯ ಬೆಲೆ ಇಷà³à²Ÿà³‡ ಎಂದೠನಿರà³à²¦à²¿à²·à³à²Ÿà²µà²²à³à²²-ಅದರ ಬೆಲೆ ಒಂದೠಸಂಖà³à²¯à³†à²¯à²²à³à²²à²¿à²¨ ಆ ಅಂಕೆಯ ಸà³à²¥à²¾à²¨à²µà²¨à³à²¨à³ ಅವಲಂಬಿಸಿರà³à²¤à³à²¤à²¦à³†.ಉದಾಹರಣೆಗೆ ೨ ಎಂಬ ಒಂದೇ ಅಂಕೆಯೠ೩೨ ಎಂಬ ಸಂಖà³à²¯à³†à²¯à²²à³à²²à²¿ ಎರಡನà³à²¨à³‚ ೨ X ೧೦೦ ,೪೨೩ ಎಂಬ ಸಂಖà³à²¯à³†à²¯à²²à³à²²à²¿ ಇಪà³à²ªà²¤à³à²¤à²¨à³à²¨à³‚ ೨ X ೧೦೧ , ೧೨೦೩ ಎಂಬ ಸಂಖà³à²¯à³†à²¯à²²à³à²²à²¿ ಇನà³à²¨à³‚ರನà³à²¨à³‚ ೨ X ೧೦೩ ಸೂಚಿಸà³à²¤à³à²¤à²¦à³†.ಇನà³à²¨à³ ಸೊನà³à²¨à³†à²—ೆ ಒಂದೠಚಿಹà³à²¨à³†à²¯à²¿à²²à³à²²à²¦à²¿à²¦à³à²¦à²°à³† ೧೨೩ ಕà³à²•à³‚ ೧೨೦೩ ಕà³à²•à³‚ ವà³à²¯à²¤à³à²¯à²¾à²¸à²µà³‡ ನಮಗೆ ಗೊತà³à²¤à²¾à²—à³à²¤à³à²¤à²¿à²°à²²à³à²²à²¿à²²à³à²²! ಈ ಪದà³à²¦à²¤à²¿à²¯à³ ಎಷà³à²Ÿà³ ಮಹತà³à²µà²¦à³à²¦à³‚,ಎಷà³à²Ÿà³ ಪà³à²°à²¯à³‹à²œà²¨à²•à²¾à²°à²¿à²¯à²¾à²¦à²¦à³à²¦à³‚ ಎಂದೠಮನವರಿಕೆಯಾಗಬೇಕಾದರೆ, ರೋಮನೠಸಂಖà³à²¯à³†à²—ಳನà³à²¨à³‡ ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡೠಯಾವà³à²¦à²¾à²¦à²°à³‚ ಗà³à²£à²¾à²•à²¾à²° ಮಾಡಿ ನೋಡಿ,ಉದಾಹರಣೆಗೆ DCCCLXXXVIII x XLIV ಅಥವಾ à²à²¾à²—ಾಕಾರ ಮಾಡಿ ನೋಡಿ! ಒಂದೠಮಾತಿನಲà³à²²à²¿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ à²à²¾à²°à²¤à³€à²¯ ಮೂಲದ ಸà³à²¥à²¾à²¨ ಮೌಲà³à²¯ ಪದà³à²§à²¤à²¿ ಇಲà³à²²à²¦à²¿à²¦à³à²¦à²°à³† ವಾಣಿಜà³à²¯, ವಿಜà³à²žà²¾à²¨, ಗಣಕಯಂತà³à²°à²—ಳೠಮà³à²‚ತಾದ ಯಾವà³à²¦à³‡ ಕà³à²·à³‡à²¤à³à²°à²¦à²²à³à²²à²¿ ಈಗಿರà³à²µà²·à³à²Ÿà³ ಪà³à²°à²—ತಿ ಸಾಧà³à²¯à²µà²¾à²—à³à²¤à³à²¤à²¿à²°à²²à²¿à²²à³à²².ಇದಕà³à²•à²¾à²¦à²°à³‚ ಇಡೀ ಜಗತà³à²¤à³‡ à²à²¾à²°à²¤à²•à³à²•à³† ಚಿರಋಣಿಯಾಗಿರಬೇಕà³.
ಗಣಿತ ಮತà³à²¤à³ ಖಗೋಳಶಾಸà³à²¤à³à²°à²—ಳಿಗೇ ಮೀಸಲಾದ ಮತà³à²¤à³ ಈಗ ನಮಗೆ ದೊರಕಿರà³à²µ à²à²¾à²°à²¤à³€à²¯ ಗà³à²°à²‚ಥಗಳಲà³à²²à²¿,ಆರà³à²¯à²à²Ÿà²¨à³ ರಚಿಸಿರà³à²µ ಆರà³à²¯à²à²Ÿà³€à²¯à²µà³‡ ಅತà³à²¯à²‚ತ ಪà³à²°à²¾à²šà³€à²¨à²µà²¾à²¦à²¦à³à²¦à³.ಇದೠಕೇವಲ ೧೨೧ ಶà³à²²à³‹à²•à²—ಳನà³à²¨à³Šà²³à²—ೊಂಡ ತà³à²‚ಬ ಚಿಕà³à²• ಗà³à²°à²‚ಥ.ಇದನà³à²¨à³ ಸà³à²¥à³‚ಲವಾಗಿ ಮೂರೠà²à²¾à²—ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹà³à²¦à³-ಆರಂà²à²¦ ದೇವತಾ ಪà³à²°à²¾à²°à³à²¥à²¨à³† ಮತà³à²¤à³ ಪರಿಸಮಾಪà³à²¤à²¿à²¯ ಮೂರೠಶà³à²²à³‹à²•à²—ಳà³, ದಶಗೀತಿಕ ಎಂಬ ಹತà³à²¤à³ ಶà³à²²à³‹à²•à²—ಳೠಮತà³à²¤à³ ಆರà³à²¯à²¾à²·à³à²Ÿà²¶à²¤à²µà³†à²‚ಬ ೧೦೮ ಶà³à²²à³‹à²•à²—ಳà³. ಆರà³à²¯à²¾à²·à³à²Ÿà²¶à²¤à²¦à²²à³à²²à²¿ ಮೂರೠಉಪ à²à²¾à²—ಗಳಿವೆ: ಕೇವಲ ಗಣಿತಕà³à²•à³† ಮೀಸಲಾದ ‘ಗಣಿತಪಾದ (೩೩ ಶà³à²²à³‹à²•à²—ಳà³); ಕಾಲಮಾನಕà³à²•à³† ಸಬಂಧಿಸಿದ ‘ಕಾಲಕà³à²°à²¿à²¯’(೩೫ ಶà³à²²à³‹à²•à²—ಳà³); ಮತà³à²¤à³ ಖಗೋಳಶಾಸà³à²¤à³à²°à²µà²¨à³à²¨à³ ಕà³à²°à²¿à²¤à²¾à²¦ ‘ಗೋಲ’(೫೦ ಶà³à²²à³‹à²•à²—ಳà³).
ಆರà³à²¯à²à²Ÿà²¿à²¯à²¦ ಸೂತà³à²°à²—ಳನà³à²¨à³ ತà³à²‚ಬ ಸಂಕà³à²·à³‡à²ªà²µà²¾à²—ಿ ಬರೆದಿರà³à²µà³à²¦à²°à²¿à²‚ದ ಇವà³à²—ಳಲà³à²²à²¿ ಅನೇಕವನà³à²¨à³ ಟಿಪà³à²ªà²£à²¿(commentry) ಅಥವಾ ಕರಣ ಗà³à²°à²‚ಥ(manual) ಇಲà³à²²à²¦à³† ಅರà³à²¥à²®à²¾à²¡à²¿à²•à³Šà²³à³à²³à³à²µà³à²¦à³ ಕಷà³à²Ÿ.ಆರà³à²¯à²à²Ÿà²¨à³‡ ಒಂದೠಕರಣ ಗà³à²°à²‚ಥವನà³à²¨à³ ಬರೆದಿದà³à²¦à²¿à²°à²¬à²¹à³à²¦à³-ಆದರೆ ಅದೠಲà²à³à²¯à²µà²¿à²²à³à²².ಕà³à²°à²¿.ಶ.೧೫ನೆಯ ಶತಮಾನದಲà³à²²à²¿ ಮಹೇಶà³à²µà²° ಎಂಬ à²à²¾à²·à³à²¯à²¾à²•à²¾à²°à²¨à³(commentator) ಸಂಸà³à²•à³ƒà²¤ ಗದà³à²¯à²¦à²²à³à²²à²¿ ಆರà³à²¯à²à²Ÿà³€à²¯à²•à³à²•à³†‘à²à²Ÿà²¦à³€à²ªà²¿à²•à²¾’ ಎಂಬ ಬಹೠಮೂಲà³à²¯ ಟಿಪà³à²ªà²£à²¿à²¯à²¨à³à²¨à³ ಬರೆದಿರà³à²¤à³à²¤à²¾à²¨à³†.ಆದರೆ ಕೆಲವೠವೇಳೆ ಮಾತà³à²° ಈತನೠತನà³à²¨à²¦à³‡ ಆದ ಅà²à²¿à²ªà³à²°à²¾à²¯à²•à³à²•à³† ತಕà³à²•à²‚ತೆ ಮೂಲ ಶà³à²²à³‹à²•à²µà²¨à³à²¨à³ ಅರà³à²¥à³ˆà²¸à²¿à²°à³à²µà²‚ತೆ ತೋರà³à²¤à³à²¤à²¦à³†.ಇದಲà³à²²à²¦à³† ಆರà³à²¯à²à²Ÿà²¨ ನಂತರ ಬಂದ ಬà³à²°à²¹à³à²®à²—à³à²ªà³à²¤,à²à²¾à²¸à³à²•à²° ಮà³à²‚ತಾದ ಅತà³à²¯à²‚ತ ಮೇಧಾವಿಗಳೂ ಆರà³à²¯à²à²Ÿà³€à²¯à²µà²¨à³à²¨à³ ಅನೇಕಸಲ ತಮà³à²® ಗà³à²°à²‚ಥಗಳಲà³à²²à²¿ ಉಲà³à²²à³‡à²–ಿಸಿದà³à²¦à²¾à²°à³†.
ಗಣಿತಪಾದದ ಮೊದಲನೆಯ ಶà³à²²à³‹à²•à²¦à²¿à²‚ದಲೇ ಆರà³à²¯à²à²Ÿà²¨à³ ಕà³à²¸à³à²®à²ªà³à²°à²¦(ಪಾಟಲೀಪà³à²¤à³à²°à²¦)ನಿವಾಸಿ ಎಂದೠತಿಳಿಯà³à²¤à³à²¤à²¦à³†,ಆದರೆ ಮೂಲತಃ ಈತನೠಕೇರಳದವನೆಂದೠಕಾಣà³à²¤à³à²¤à²¦à³†.ದಶಗೀತಿಕಾಸಾರದ ಮೂರನೆಯ ಶà³à²²à³‹à²• ಮತà³à²¤à³ ಕಾಲಕà³à²°à²¿à²¯à³†à²¯ ಹತà³à²¤à²¨à³†à²¯ ಶà³à²²à³‹à²•à²µà²¨à³à²¨à³ ಜೊತೆಗೆ ಓದಿದಾಗ,ಆರà³à²¯à²à²Ÿà³€à²¯à²µà²¨à³à²¨à³ ಬರೆದಾಗ ಮಹಾà²à²¾à²°à²¤ ಯà³à²¦à³à²§à²µà²¾à²—ಿ ೩೬೦೦ ವರà³à²·à²—ಳಾಗಿದà³à²¦à²µà³†à²‚ದೠಆಗ ಲೇಖಕನಿಗೆ ೨೩ ವರà³à²·à²—ಳಾಗಿದà³à²¦à²µà³†à²‚ದೂ ತಿಳಿಯà³à²¤à³à²¤à²¦à³†-ಎಂದರೆ ರಚನೆಯ ವರà³à²· ಕà³à²°à²¿.ಶ.೪೯೯ ಮತà³à²¤à³ ಆರà³à²¯à²à²Ÿà²¨ ಜನನವಾದದà³à²¦à³ ಕà³à²°à²¿.ಶ.೪à³à³¬ ರಲà³à²²à²¿.
ಗà³à²°à²‚ಥ ಚಿಕà³à²•à²¦à²¾à²¦à²°à³‚,ಆರà³à²¯à²à²Ÿà³€à²¯à²¦à²²à³à²²à²¿ ಇಂದಿಗೂ ಗಮನಾರà³à²¹ ವಿಷಯಗಳೠಹೇರಳವಾಗಿವೆ,ಅವà³à²—ಳಲà³à²²à²¿ ಕೆಲವನà³à²¨à³ ಮಾತà³à²° ಇಲà³à²²à²¿ ಉಲà³à²²à³‡à²–ಿಸಬಯಸà³à²¤à³à²¤à³‡à²¨à³†:
* ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಸà³à²¥à²¾à²¨à²®à³Œà²²à³à²¯à²ªà²¦à³à²§à²¤à²¿à²¯à²¨à³à²¨à³ ಆರà³à²¯à²à²Ÿà²¨à³ ತನà³à²¨ ಗಣಿತಪಾದದ ಎರಡನೆಯ ಶà³à²²à³‹à²•à²¦à²²à³à²²à²¿à²°à³à²µ ‘ಸà³à²¥à²¾à²¨à²¾à²¤à³ ಸà³à²¥à²¾à²¨à²‚ ದಶಗà³à²£à²‚ ಸà³à²¯à²¾à²¤à³’ಎಂಬ ಪದಬಂಧದಿಂದ ಸೂಚಿಸà³à²¤à³à²¤à²¾à²¨à³†.
* ಗಣಿತಪಾದದ ೪ ಮತà³à²¤à³ ೫ ನೆಯ ಶà³à²²à³‹à²•à²—ಳಲà³à²²à²¿ ವರà³à²—ಮೂಲ ಮತà³à²¤à³ ಘನಮೂಲಗಳನà³à²¨à³(square and cube roots) ಕಂಡà³à²¹à²¿à²¡à²¿à²¯à³à²µ ಬಗೆ ತಿಳಿಸà³à²¤à³à²¤à²¾à²¨à³†.
* ಗಣಿತಪಾದದ ಹತà³à²¤à²¨à³†à²¯ ಶà³à²²à³‹à²•à²µà²¨à³à²¨à³ ನೋಡಿರಿ:
ಚತà³à²°à²§à²¿à²•à²‚ ಶತಮಷà³à²Ÿà²—à³à²£à²‚ ದà³à²µà²¾à²·à²·à³à² ಿಸà³à²¤à²¥à²¾ ಸಹಸà³à²°à²¾à²£à²¾à²®à³
ಆಯà³à²¤à²¦à³à²µà²¯ ವಿಷà³à²•à²‚à²à²¸à³à²¯à²¾à²¸à²¨à³à²¨à³‹ ವೃತà³à²¤ ಪರಿಣಾಹಃ ||
ಇದರ ಅರà³à²¥ ಹೀಗಿದೆ; ನೂರಕà³à²•à³† ನಾಲà³à²•à²¨à³à²¨à³ ಸೇರಿಸಿ ಅದನà³à²¨à³ ಎಂಟರಿಂದ ಗà³à²£à²¿à²¸à²¿ ನಂತರ ಅದಕà³à²•à³† ಅರವತà³à²¤à³†à²°à²¡à³ ಸಾವಿರವನà³à²¨à³ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಅದೠಇಪà³à²ªà²¤à³à²¤à³ ಸಾವಿರ ವà³à²¯à²¾à²¸à²µà²¿à²°à³à²µ ವೃತà³à²¤à²¦ ಪರಿಧಿಗೆ ಸà³à²®à²¾à²°à³ ಸಮವಾಗà³à²¤à³à²¤à²¦à³†.ಎಂದರೆ:
104 x 8 + 62000 = 62832 ≈ circumference of a circle of diameter 20000
But, circumference = π x diameter
Therefore, π ≈ 62832/20000 = 3.1416
ಆರà³à²¯à²à²Ÿà²¨à³ ಇಲà³à²²à²¿ ಕೊಟà³à²Ÿà²¿à²°à³à²µ‘ಪೈ’ನ ಮೌಲà³à²¯à²µà³ ಆರà³à²–ಿಮಿಡೀಸೠಮà³à²‚ತಾದ ವಿಜà³à²žà²¾à²¨à²¿à²—ಳೠಬಳಸà³à²¤à³à²¤à²¿à²¦à³à²¦(೨೨/à³)ಗಿಂತ ಹೆಚà³à²šà³ ನಿಖರವಾಗಿದà³à²¦à³‚,ಇದೂ ಸಹ ಕರಾರà³à²µà²¾à²•à³à²•à²¾à²¦à²¦à³à²¦à²²à³à²² ಎಂದೠ‘ಆಸನà³à²¨à³‹’(ಸà³à²®à²¾à²°à³) ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದà³à²¦à²¾à²¨à³†.
ಪà³à²°à²¾à²šà³€à²¨à²•à²¾à²²à²¦à²²à³à²²à²¿ à²à²¾à²°à²¤à³€à²¯à²°à³ ಗà³à²°à²¹à²£à²µà²¾à²—à³à²µà²¾à²— ರಾಹೠಎಂಬ ರಾಕà³à²·à²¸à²¨à³ ಸೂರà³à²¯à²¨à²¨à³à²¨à³ ನà³à²‚ಗà³à²¤à³à²¤à²¾à²¨à³† ಎಂದೠನಂಬಿದà³à²¦à²°à³.ಆದರೆ ಆರà³à²¯à²à²Ÿà³€à²¯à²¦à²²à³à²²à²¿à²¨ ಗೋಲದ ಮೂವತà³à²¤à³‡à²³à²¨à³†à²¯ ಶà³à²²à³‹à²•à²¦ ಎರಡನೆಯ ಸಾಲೠಹೀಗಿದೆ:
ಛಾದಯತಿ ಶಶೀ ಸೂರà³à²¯à²‚ ಶಶಿನಂ ಮಹತೀ ಚ à²à³‚ಚà³à²›à²¾à²¯à²¾ ಇದನà³à²¨à³ ಟಿಪà³à²ªà²£à²¿à²•à²¾à²° ಪರಮೇಶà³à²µà²°à²¨à³ ಈ ರೀತಿ ವಿವರಿಸಿದà³à²¦à²¾à²¨à³† ‘ಸೂರà³à²¯à²‚ ಗà³à²°à²¹à²£à²•à²¾à²²à³‡ ಶಶಿ ಛಾದಯತಿ ನ ತೠರಾಹà³à²ƒ,ಶಶಿನಂ ಗà³à²°à²¹à²£à²•à²¾à²²à³‡ ಛಾದಯತಿ ಮಹತೀ à²à³‚ಚà³à²›à²¾à²¯à²¾ ನ ತೠರಾಹà³à²ƒ.’ ಎಂದರೆ ಸೂರà³à²¯à²—à³à²°à²¹à²£à²µà³ ಚಂದà³à²°à²¨ ನೆರಳಿನಿಂದಲೂ,ಚಂದà³à²°à²—à³à²°à²¹à²£à²µà³ à²à³‚ಮಿಯ ನೆರಳಿನಿಂದಲೂ ಆಗà³à²¤à³à²¤à²µà³†,ರಾಹೠಎಂಬ ರಾಕà³à²·à²¸à²¨à²¿à²‚ದಲà³à²².
ಹಿಂದಿನ ಕಾಲದಲà³à²²à²¿ ಪಾಶà³à²šà²¾à²¤à³à²¯,ಪೌರಾತà³à²¯à²°à³†à²²à³à²²à²°à³‚ à²à³‚ಮಿಯೠಸà³à²¥à²¿à²°à²µà²¾à²—ಿದೆ-ಸೂರà³à²¯ ಮತà³à²¤à³ ನಕà³à²·à²¤à³à²°à²—ಳೆಲà³à²²à²µà³‚ ಅದರ ಸà³à²¤à³à²¤ ಸà³à²¤à³à²¤à³à²¤à³à²¤à²µà³† ಎಂದೠತಿಳಿದಿದà³à²¦à²°à³.ಆದರೆ ಆರà³à²¯à²à²Ÿà²¨à³ à²à³‚ಮಿಯೠತನà³à²¨à²¦à³‡ ಅಕà³à²·à²¦ ಮೇಲೆ ತಿರà³à²—à³à²¤à³à²¤à²¿à²¦à³†-ದೋಣಿಯಲà³à²²à²¿ ಪಯಣ ಮಾಡà³à²¤à³à²¤à²¿à²°à³à²µà²µà²¨à²¿à²—ೆ ಸà³à²¥à²¿à²°à²µà²¸à³à²¤à³à²—ಳೆಲà³à²²à²µà³‚ ಹಿಂದೆ ಹಿಂದೆ ಹೋದಂತೆ ಕಾಣà³à²µà²‚ತೆ,ಸà³à²¥à²¿à²°à²µà²¾à²—ಿರà³à²µ ನಕà³à²·à²¤à³à²°à²—ಳೠವಿರà³à²¦à³à²§ ದಿಕà³à²•à²¿à²¨à²²à³à²²à²¿ ಹೋದಂತೆ ನಮಗೆ à²à²¾à²¸à²µà²¾à²—à³à²¤à³à²¤à²¦à³† ಎಂದೠತಿಳಿಸà³à²¤à³à²¤à²¾à²¨à³†(ಗೋಲ,೯). ಈ ಸತà³à²¯à²µà²¨à³à²¨à³ ಅಂಗೀಕರಿಸಲೠಯೂರೋಪಿಯನà³à²¨à²°à²¿à²—ೆ ಸಾವಿರಕà³à²•à³‚ ಹೆಚà³à²šà²¿à²¨ ವರà³à²·à²—ಳà³(ಗೆಲಿಲೆಯೋನ ಕಾಲದವರೆಗೂ) ಬೇಕಾದವೠ!
ಆರà³à²¯à²à²Ÿà³€à²¯à²¦à²¿à²‚ದ ಇನà³à²¨à³‚ ಅರಿಯಬೇಕಾದ ವಿಷಯಗಳೠಅನೇಕವಿವೆ.ಆರà³à²¯à²à²Ÿà²¨ ಕೆಲವೠಸಿದà³à²§à²¾à²‚ತಗಳೠಸನಾತನ ನಂಬಿಕೆಗಳಿಗೆ ಎದà³à²°à²¾à²—ಿದà³à²¦à³à²¦à²°à²¿à²‚ದ ಆತನೠಬà³à²°à²¹à³à²®à²—à³à²ªà³à²¤ ಮà³à²‚ತಾದವರಿಂದ ಅನೇಕ ಟೀಕೆಗಳಿಗೆ ಒಳಗಾದನà³.ಆರà³à²¯à²à²Ÿà³€à²¯à²¦à²²à³à²²à²¿ ಕೆಲವೠತಪà³à²ªà³à²—ಳೂ ಇವೆ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ - ಗೋಲದ ಗಾತà³à²°à²µà²¨à³à²¨à³(volume of sphere) ಕಂಡà³à²¹à²¿à²¡à²¿à²¯à³à²µ ಸೂತà³à²° ಸರಿಯಲà³à²².ಗà³à²°à²¹à²—ಳ ವà³à²¯à²¾à²¸à²¦ ಬಗà³à²—ೆ ಆರà³à²¯à²à²Ÿà²¨à³ ಕೊಟà³à²Ÿà²¿à²°à³à²µ ಮಾಹಿತಿಯೂ ಕರಾರà³à²µà²¾à²•à³à²•à²¾à²¦à³à²¦à²²à³à²².ಆದರೆ ಈ ಕೃತಿಯನà³à²¨à³ ರಚಿಸಿದಾಗ ಟೆಲಿಸà³à²•à³‹à²ªà³à²—ಳೇ ಇರಲಿಲà³à²²à²µà³†à²‚ಬà³à²¦à²¨à³à²¨à³ ನೆನಪಿನಲà³à²²à²¿à²¡à²¬à³‡à²•à³.ಈ ಹಿನà³à²¨à³†à²²à³†à²¯à²²à³à²²à²¿ ನೋಡಿದರೆ ಆರà³à²¯à²à²Ÿà²¨à³ ತನà³à²¨ ಸಮಕಾಲೀನರಿಗಿಂತ ಬಹಳ ಮà³à²‚ದà³à²µà²°à³†à²¦à²¿à²¦à³à²¦à²¨à³ ಎಂದೠನಿಸà³à²¸à²‚ದೇಹವಾಗಿ ಹೇಳಬಹà³à²¦à³.